Двоичная, десятичная и шестнадцатеричная запись

Система счисления задаёт, какие символы используются и какой вес имеет каждая позиция. В десятичной системе основание 10, в двоичной — 2, в шестнадцатеричной — 16. Одно и то же число можно записать разными символами: значение не меняется, меняется форма представления.

Двоичная запись естественна для цифровой логики, а шестнадцатеричная компактно группирует биты: одна hex-цифра соответствует четырём битам. Поэтому адреса, регистры, маски и дампы памяти часто пишут в hex.

• Вес разряда равен основанию в степени позиции: b^0, b^1, b^2 и так далее.
• В двоичной системе используются 0 и 1; в hex после 9 идут A, B, C, D, E, F со значениями 10…15.
• Для перевода из двоичной в hex биты группируют по четыре от младшего разряда.
• Для перевода в десятичную складывают значения ненулевых разрядов.
• При работе с фиксированной разрядностью ведущие нули важны для структуры слова, хотя не меняют числовое значение.

Например, 101101₂ = 1·2⁵+0·2⁴+1·2³+1·2²+0·2+1 = 45₁₀. Для hex эту запись дополняют слева: 0010 1101₂ = 2D₁₆. Обратный перевод выполняется заменой каждой hex-цифры четырьмя битами.

Десятичное число можно переводить в двоичное последовательным делением на 2 и чтением остатков снизу вверх или разложением по степеням 2. Для hex аналогично используют деление на 16.

Выполняйте переводы вручную, затем проверяйте калькулятором программиста. Цель — понимать структуру, а не нажимать кнопку.

1. Переведите 13, 31, 45 и 255 из decimal в binary и hex.
2. Переведите 10101100₂ в decimal и hex.
3. Разложите 0xA5 на две тетрады и запишите binary.
4. Для 16-битного числа 0x03F0 подпишите старший и младший байты.
5. Составьте маску, которая устанавливает только биты 0, 2 и 7 одного байта.

• Читать 1010 как десятичную тысячу десять, когда это двоичная запись.
• Группировать двоичные биты в hex не от младшего разряда.
• Считать A символом без числового значения 10.
• Терять разрядность регистра, убирая ведущие нули там, где структура слова важна.

Ошибки систем счисления часто проявляются как неправильные маски регистров и адреса. Перед поиском аппаратной неисправности полезно представить hex-константу в binary и увидеть, какие именно биты она меняет.

Системы счисления — язык цифровых данных. Уверенный перевод между binary, decimal и hex облегчает работу с регистрами, логическими масками, памятью и протоколами.